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主题: [转帖][分享]微积分的极限理论-陈景润的最好解答

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[转帖][分享]微积分的极限理论-陈景润的最好解答

Rickshaw
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加入时间: 2006/05/29
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标题: [转帖][分享]微积分的极限理论-陈景润的最好解答 (1448 reads) 时间: 2006-6-29 周四, 20:36

作者：Rickshaw 在海归茶馆发贴, 来自【海归网】 http://www.haiguinet.com

陈景润和微积分极限理论

·任平生·

　　不久前，国内媒体抓住丘成桐关于庞加莱猜想证明的一番话，又把陈景润和哥德巴赫猜想拿出来说事。丘大师说，“这是一项大成就（指刚发表的曹朱对庞加莱猜想的证明），比哥德巴赫猜想重要得多。”丘还对数学成果的重要性给出了定义：“分析一个猜想或者难题重不重要，关键要看它的破解，会不会带动其他研究的发展。”丘成桐又说，哥德巴赫猜想“很漂亮”，却是一个相对孤立的命题，就是破解也不会对其他研究产生太大推动作用。“陈景润的工作很重要，也做到了极致。但是和庞加莱猜想比起来，还是要弱一些。”丘先生说的很中肯，很精辟，对数学研究的见解也很独到。但媒体却有以此来贬低陈景润的意思，这是一种严重的误导。

　　陈景润以对数学的痴迷和不食人间烟火而闻名于世，但他对数学的理解却是目光如炬。我在大学求学其间听过陈景润先生的一次报告，受益非浅，写来与各位分享。

　　读理工和经济的人都知道，从初等数学到高等数学的第一个坎就是微积分的极限理论。对极限理论的理解和处理是专业学数学和其他科系学数学的分水岭之一，这就是微积分教学中臭名昭著的数列极限一扑死弄——Ｎ理论（ｅｐｓｉｌｏｎ——Ｎ，函数极限为ｅｐｓｉｌｏｎ——Ｄｅｌｔａ理论）。这个一扑死弄——Ｎ（Ｄｅｌｔａ）理论诲涩难懂，令一拨刚从初等数学跳到高等数学的学生焦头烂额。包括数学系的学生，一些人到了毕业，还对为什么要用如此抽象的一扑死弄——Ｎ（Ｄｅｌｔａ）理论极限来描述微积分的极限理论的不甚了了。以数列ｆ（ｎ）的极限为Ｌ为例，一扑死弄——Ｎ理论是这么表述的：对一个任意给定的实数ｅ＞０（ｅｐｓｉｌｏｎ），存在一个相应的正整数Ｎ，当ｎ＞Ｎ时，｜ｆ（ｎ）－Ｌ｜＜ｅ　成立。我们就认为Ｌ是ｆ（ｎ）的极限。

　　微积分的极限理论的核心是，如果一个数列或函数无限地接近于一个常数，我们就说这个数是这个数列或函数的极限。由于可用原数列或函数减去极限常数而构造新的数列或函数，问题就可变为“一个数列或函数无限地接近于０”，也就是微积分学的精髓无穷小量。数学家以外的人一般就认为这个无穷小量就是０。这里关键的东西是“无限地接近于”的表述。什么是无限地接近？一般人可以说就是要多近就有多近。在其他学科尤其是社会学科这么讲也说得过去了，但是数学家对它不满意，他们是一群追求逻辑完美的人，这样含糊的定性分析不能让他们止步。你说毛主席和林彪在文革开始不也是要多近就有多近吗，后来不是照样掰了？数学家要的是完备的定量分析，这就是说，给你一个以０为极限的数列或函数，凭什么来度量它和０“要多近就有多近”？一扑死弄——Ｎ（Ｄｅｌｔａ）理论就是要给出一个判定准则。

　　陈景润的讲座让众人耳目一新。他先引庄子《天下篇》的“一尺之棰，日取其半，万世不竭。”说无限的思想从我们老祖宗那里就有啦。大家不是都说这个一扑死弄——Ｎ（Ｄｅｌｔａ）理论难懂吗？那现在我就用一扑死弄——Ｎ理论来试试庄子这个中国命题，看看在座不是专门学数学的人能不能也听得懂这个一扑死弄——Ｎ。几百人的大教室里座无虚席，鸦雀无声，都想见识一下陈景润怎么剃这个刺头。陈景润说，“一尺之棰，日取其半，万世不竭。”说的就是微积分学中的无穷小，也就是每天切割棒棰，最后棒棰长度的极限为０。一扑死弄——Ｎ理论翻译成庄子的话应该是，“一尺之棰，日取其半，切到某一天，没有了。”注意，这里有和没有，决定于我们的观测水平。如果用肉眼看，可能分到５００天就看不到了，我们就认为没有了。但是换上一台显微镜来看，又可以看得到了。于是我们继续切，再切到１００００天，这台显微镜也看不到了。但是换上更高倍的显微镜，还是看得见。我们就继续切下去。一扑死弄——Ｎ理论说的是，只要你给一个分辨率，不论是多么精确的显微镜，我总能给一个天数，当分到那一天之后，你的观测工具就看不见了。于是，对任何数列或函数，都用这把尺子去量，以分辨它的极限是不是０。满足这把尺子，极限为０，反之则不是。这就是一扑死弄——Ｎ理论无穷小——极限为０的实质。在“一尺之棰，日取其半，万世不竭”这个具体问题里，Ｌ＝０；ｆ（ｎ）＝１／（２＾ｎ）：等分一尺之棰ｎ天以后的长度；ｅ：任意给出的长度（分辨率）；Ｎ：达到这个长度（分辨率）所需要的天数。

　　全场鼓掌，大澈大悟，醍瑚罐顶。这是真正的深入浅出，抓住了事物的本质，是我所见到过最漂亮的对微积分的极限理论的解释。大师毕竟是大师。

　　相信坛子里许多人都读过１９７７年徐迟在《人民日报》上发表的《哥德巴赫猜想》，这篇报告文学激励了一代人。拜陈景润之赐，当年有一大批最好的学生去读了数学。同其他学科相比，当今北美大学数学系里拥有数量最多的中国数学教授。正如徐迟所说，数论是数学的皇冠，哥德巴赫猜想是皇冠上的一颗明珠。鲜为人知的是，陈景润在１９６６年证明了哥德巴赫猜想１＋２之后继续前进，在１９７３年又推进了孪生素数猜想。在数学学术界众所周知，和哥德巴赫猜想１＋２一样，两个世纪难题都由都由陈景润保持着世界记录。记住这个结果陈景润是在文化大革命的非常时期做出来的。两项结果迄今全世界没有人能推进，单凭这一点，他就要在数学史上青史留名。

　　在大学求学其间，陈景润并不是皎皎者，毕业的同学中，他是唯一被分配去教中学的。几十年的锲而不舍地追求他的心爱的数论，终于攀上高峰。虽然油尽灯灭，陈景润过早地辞世，他却用生命证明马克思的一句话：在科学上没有平坦的大道可走，只有那些在崎岖小路上不停地攀登的人，有希望达到光辉的顶点。

　　２００６年６月

附录：

⒈哥德巴赫猜想：每一个大于２的偶数，都可以表示为两个素数之和。

１９１９年，Ｖｉｇｇｏ　Ｂｒｕｎ引进筛法，他用这个方法证明了，每一个充分大的偶数都可以表示为如下两个数之和：它们每一个均是不超过９个素数的乘积。１９４８年，Ａｌｆｒｅｄ　Ｒｅｎｙｉ证明了，每一个充分大的偶数，都是一个素数和另一个至多ｃ个素数乘积的和，这里ｃ是确定的，但不知道它是几个。１９６１年，Ｍ．Ｂ．Ｂａｒｂａｎ证明ｃ＝９就够了。１９６２年，潘承洞推进到ｃ＝５。很快Ｂａｒｂａｎ和潘承洞各自独立地证明了ｃ＝４。１９６５年，Ａ．Ａ．Ｂｕｃｈｓｔａｂ证明ｃ＝３。最后，陈景润进一步改进了筛法，并证明了ｃ＝２。这就是著名的１＋２。

⒉孪生素数猜想：存在着无穷多个素数ｐ，使得素数ｐ和ｐ＋２也是素数。

１９１９年，Ｖｉｇｇｏ　Ｂｒｕｎ同时证明，存在着无穷多个数ｐ，使得数ｐ和ｐ＋２都是不超过９个素数的乘积。１９２４年，Ｂｕｃｈｓｔａｂ把９改进为７，并在案１９３０年推进到６，１９３８年推进到５。王元在１９５７年推进到３。１９６５年，Ｂｕｃｈｓｔａｂ证明了一般的情形，既存在某个确定的数ｃ，存在着无穷多个数ｐ，使得数ｐ和ｐ＋２都是不超过ｃ个素数的乘积。１９７３年，陈景润证明ｃ＝２就够了。

哥德巴赫猜想和孪生素数猜想自陈景润后就再无进展。用现有的方法似乎已不可能，陈景润把筛法用到了极致。解决哥德巴赫猜想和孪生素数猜想需要新思想。

作者：Rickshaw 在海归茶馆发贴, 来自【海归网】 http://www.haiguinet.com

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